2.4. Построение эпюр угловых перемещений при кручении.

Имея формулы для определения деформаций и зная условия закрепления стержня, нетрудно определить угловые перемещения сечений стержня и построить эпюры этих перемещений. Если имеется вал (т.е. вращающийся стержень), у которого нет неподвижных сечений, то для построения эпюры угловых перемещений принимают какое-либо сечение за условно неподвижное.

Рассмотрим конкретный пример (рис. 2.12, а). На рис. 2.12, б дана эпюра Тк .

Примем сечение в точке А за условно неподвижное. Определим поворот сечения В по отношению к сечению А.

Где ТАВ - крутящий момент на участке АВ; lАВ - длина участка АВ.

Примем следующее правило знаков для углов поворота сечений: углы будем считать положительными, когда сечение поворачивается (если смотреть вдоль оси справа налево) против часовой стрелки. В данном случае будет положительным. В принятом масштабе отложим ординату (рис. 2.12, в). Полученную точку К соединяем прямой точкой Е, так как на участке АВ углы изменяются по закону прямой линии . Вычислим теперь угол поворота сечения С по отношению к сечению В. Учитывая принятое правило знаков для углов закручивания, получаем

Так как сечение В не неподвижное, то угол поворота сечения С по отношению к сечению А равен

Угол закручивания может получиться положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.

Предположим, что в данном случае угол получился положительным. Тогда, отложив эту величину в принятом масштабе вверх от эпюры, получим точку М. Соединяя точку М с точкой К, получим графмк углов закручивания на участке ВС. На участке CD скручивания не происходит, так как крутящие моменты на этом участке равны нулю, поэтому там все сечения поворачиваются на столько же, на сколько поворачивается сечение С. Участок MN эпюры здесь горизонтален. Читателю предлагается убедиться, что если принять за неподвижное сечение В, то эпюра углов закручивания будет иметь вид, представленный на рис. 2.12, г.

Пример 2.1. Определить диаметр стального вала, вращающегося с угловой скоростью W = 100 рад/с и передающего мощность N = 100 кВт. Допускаемо напряжение = 40 МПа, допускаемый угол закручивания = 0,5 град/м, G = 80000 МПа.

Решение. Момент передаваемый валом, определяется по формуле

T = N/W = 100 000 / 100 = 1000 Н * м

Крутящий момент во всех поперечных сечениях вала одинаков

Tк = Т = 1000 Н * м = 1 кН * м = 0,001 МН * м.

Диаметр вала по прочности определяем по формуле (2.15)

По формуле (2.24) определяем диаметр вала из условия жесткости

Диаметр вала в данном случае определяется из условия жесткости и должен быть принят равным d = 52 мм.

Пример 2.2. Подобрать размеры сечения трубчатого вала, передающего момент Т = 6 кН * м, при соотношении диаметров с = d/D = 0,8 и допускаемом напряжении = 60 МПа. Сравнить вес этого трубчатого вала с валом равной прочности сплошного сечения.

Ответ. Размеры трубчатого вала: D = 9,52 см, d = 7,62 см. Плошадь сечения Ат = 25,9 квадратных см. Диаметр вала сплошного сечения d1 = 8 см. Площадь сечения Ас = 50,2 квадратных см. Масса трубчатого вала составляет 51% от массы сплошного вала.

Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала - сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φ о ] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 10 5 МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении:

Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:

Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении

Значения подставляем в ньютонах и мм.

Определяем диаметр вала:

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

Условие жесткости при кручении:

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

Определяем диаметр вала:

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд пред­почтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение d вала = 75 мм.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стан­дартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τ тах = 40 Н/мм 2 . Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.

Решение

б . Очевидно,

Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d 0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм 2 . Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в . Очевидно,

Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d 0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент М z = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.

Решение

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле

В рассматриваемом примере М z = 3 кН-м = 3-10 6 Н мм,

Пример 5. Стальная труба (d 0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т , приложенными в ее торцевых сечениях. Определить ве­личину т , при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.

Решение

Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле

В данном случае

Подставляя числовые значения, получаем

Вычисляем максимальные касательные напряжения:

Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а ) построить эпюры крутящих моментов, максимальных каса­тельных напряжений, углов поворота поперечных сечений.

Решение

Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скру­чивающие) моменты и места изменения размеров попереч­ного сечения.

Пользуясь соотношением

строим эпюру крутящих моментов.

Построение эпюры М z начинаем со свободного конца бруса:

для участков III и IV

для участка V

Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б . Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τ шах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I

на участке II

на участке III

на участке IV

на участке V

Эпюра максимальных касательных напряжений пока­зана на рис. 2.38, в .

Угол поворота поперечного сечения бруса при посто­янных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле

Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φ л = 0, так как в этом сечении брус закреплен.

Эпюра углов поворота поперечных сечений изображе­на на рис. 2.38, г .

Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность N B = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности N A = 15 кВт и N C = 21 кВт. Час­тота вращения вала п = 300 об/мин. Про­верить прочность и жесткость вала, если [τ K J = 30 Н/мм 2 , [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 , d 1 = 45 мм, d 2 = 50 мм.

Решение

Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:

Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответ­ствующий N А, положительным, N c - отрицательным. Эпюра M z показана на рис. 2.39, б . Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ

что меньше [т к ] на

Относительный угол закручивания участка АВ

что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.

Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС

что меньше [т к ] на

Относительный угол закручивания участка ВС

что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.

Следовательно, прочность вала обеспечена, а жест­кость - нет.

Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 по­ступает на вал 2 мощность N 1 = 15 кВт и к рабочим ма­шинам - мощности N 2 = 2 кВт и N 3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N 4 = 7 кВт, N 5 = 4 кВт, N 6 = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d 1 и d 2 из условия прочности и жесткости, если [τ K J = 25 Н/мм 2 , [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 . Се­чения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D 1 = 200 мм, D 2 = 400 мм, D 3 = 200 мм, D 4 = 600 мм. Сколь­жением в ременной передаче пренебречь.

Решение

Нарис. 2.40, б изобра­жен вал I . На него поступает мощность N и с него снимаются мощности N l , N 2 , N 3 .

Определим угло­вую скорость враще­ния вала 1 и внешние скручивающие момен­ты

3. Определяем из условия прочности диаметр вала.

= ≤ → ≥ ;

= → d = ≈73мм.

4. Определяем из условия жесткости диаметр вала

= ≤ → Jp ≥ = =1458125

Jp = → d = = = 62мм

5. Окончательно принимаем диаметр вала d=75 мм.

4. Задания для самостоятельного решения

Задача №1

Для заданных брусьев, построить эпюру крутящих моментов и определить опасное сечение.

Ответ: Mz max a) 2m; б) 4m; в) 4m; д) 18кНМ; е) 45кНМ

Задача №2

Определить отношение диаметров и масс двух валов одинаковой прочности и длины, передающих одинаковую мощность, если один вал вращается n 1 =800мин -1 , другой с n 2 =1200мин -1 .

Ответ: d 1:d 2 =1,15; m 1:m 2 =1,31

Задача №3

Стальной вал вращается с частотой вращения n=980мин -1 и передает мощность Р=40кВт. Определить требуемый диаметр вала, если допускаемое касательное напряжение [τ к ]=25МПа

Ответ: d=43мм.

Задача №4

Стальной брус кольцевого поперечного сечения (d=100мм и d 0 =80мм) длиной 3М закручен на угол 3 0 . Вычислить наибольшие касательные напряжения, возникающие в брусе.

Ответ: τ max =70МПа

Задача №5

Стальной вал d=60мм имеет частоту вращения n=900мин -1 . Определить допускаемое значение передаваемой мощности, если [φ 0 ]=0,5

Ответ: [Р]=83,4кВт

Задача №6

Проверить прочность и жесткость стальных брусьев, если [τ к ]=40МПа; [φ 0 ]=0,6

Ответ: а) τ max =68,4МПа; φ 0 max =1,63 ;

б) τ max =27,6 МПа; φ 0 max =0,4 .

Задача №7

Определить требуемые размеры поперечного сечения бруса, если предел текучести τ m =140 МПа, а требуемый коэффициент запаса прочности [n]=2,5

Ответ: d=65мм

Задача №8

Вал передает момент М=10кНМ

Подобрать размеры поперечного сечения вала для 2 x случаев: а) сплошного кругового сечения; б) кольца при d 1 = Д.

Сравнить сечения с точки зрения экономии материала.

Допускаемое касательное напряжение [τ к ]=60МПа.

Ответ: d=94мм; Д=127мм; d 1 =111мм; ≈ 2,35.

Список литературы

1. Ицкович Г.М. «Сопротивление материалов» М.: Высшая школа, 2005.

2. Аркуша А.И. «Техническая механика», «Теоретическая механика и сопротивление материалов». М.: Высшая школа., 2002

3. Вереина Л.М, Краснов М.М. «Техническая механика» М.: Академия., 2008

Сплошные линии соответствуют положительным значениям w, а пунктирные – отрицательным, по правилу знаков. §1.3 Мембранная аналогия Из примера, разобранного в предыдущем параграфе, становится очевидным, что задачи о кручении стержня более сложной формы поперечного сечения может оказаться весьма трудным. Для приближенного решения задач о кручения стержней различных сечений, часто встречающихся в...

Будут соответственно обозначать диаметр болтов и допускаемое напряжение материала болтов на сдвиг (срез). ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ При рассмотрении деформации растяжения, сжатия, сдвига было установлено, что прочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба, при...

Кручение стержня круглого сечения – условие задачи

К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема

Рис. 3.8

Решение задачи кручение стержня круглого сечения

Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке

Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).

Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.

Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.

Строим эпюру крутящих моментов

Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».

Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.

Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.

Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков

кН·м.

Сечения 2 – 2 и 3 – 3:

Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда

кН·м.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим

Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.

Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.

Определяем диаметр вала из условия прочности

Условие прочности при кручении имеет вид

,

где – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).

Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: кН·см.

Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле

см.

Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.

Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания

Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а – полярный момент инерции. Получим

Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:

рад;

рад;

рад;

рад.

Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда

Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.

Пример задачи на кручение "круглого" стержня для самостоятельного решения

Условие задачи на кручение "круглого" стержня

Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).

Требуется:

· построить эпюру крутящих моментов;

· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;

· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения

Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения

Условие жесткости при кручении: .

Условие жесткости при кручении: .

Из условия прочности и жесткости можно определить размеры поперечного сечения. Окончательные значения диаметров округлить до ближайших стандартных по ГОСТ (30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160).

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных диаметров выбираем большее.

Пример 1. Для стального трансмиссионного вала, постоянного по длине сечения и вращающегося с постоянной угловой скоростью. Построить эпюру крутящих моментов, определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая, что поперечное сечение вала – круг и поперечное сечение вала – кольцо, имеющее соотношение диаметров . Сравнить во сколько раз вал кольцевого сечения будет легче сплошного. Принять:[τ к ] = 30 МПа Р 2 = 0,5 Р 1, Р 3 = 0,3 Р 1 Р 4 = 0,2 Р 1

G = 8·10 4 МПа [ φ 0 ] = 0,02 рад/м

Решение:

Определяем вращающие моменты.

Разбиваем вал на участки и определяем значение крутящего момента на каждом участке.

Строим эпюру крутящих моментов.

Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости.

Опасным сечением является участок II М к max = 3,6· 10 3 Н · м

Сечение вала – круг

Принимаем d = 85 мм

Принимаем d 1 = 70 мм.

Требуемый диаметр получился больше из расчета на прочность, поэтому принимаем d 1 = 85 мм .

Сечение вала – кольцо

Определяем диаметр вала из условия прочности:

Принимаем D = 105 мм.

Определяем диаметр вала из жесткости:

Принимаем D = 80 мм.

Требуемые диаметры окончательно принимаем из расчета на прочность

Пример 2. Для стального вала (рисунок 11, а ) определить из условия прочности требуемые диаметры каждого участка и углы закручивания этих участков. Угловую скорость вала принять  = 100 рад/с, допускаемое напряжение [ ] = 30 МПа, модуль упругости сдвига G = 0,8  10 5 МПа.